Question

【題目】如圖1，將一個正三角形繞其中心最少旋轉，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個正方形繞其中心最少旋轉 45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規律，將一個正七邊形繞其中心最少旋轉______，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長為，則所得正八邊形的面積為_______．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，可以發現正n邊形繞其中心最少旋轉，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋轉后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設等腰直角三角形的邊長為x，則正八邊形的邊長為x；然后根據x+x+x=4求得x；最后用正方形的面積減去這八個等腰直角三角形的面積即可．

解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；則將一個正七邊形繞其中心最少旋轉所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；

由題意得：旋轉后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，

設等腰直角三角形的邊長為x，則正八邊形的邊長為x

∴x+x+x=4，解得x=4-2

∴減去的每個等腰直角三角形的面積為：

∴正八邊形的面積為：正方形的面積-4×等腰直角三角形的面積

=4×4-4（）

=．

故答案為，．