Question

已知關于x的方程 .

（1）求證: 不論m為任何實數, 此方程總有實數根；

（2）若拋物線與軸交于兩個不同的整數點，且為正整數，試確定此拋物線的解析式；

（3）若點P與Q在（2）中拋物線上 (點P、Q不重合), 且y₁=y₂, 求代

數式的值.

Answer 1

解：（1）當m=0時，原方程化為 此時方程有實數根 x = -3.    

當m¹0時，原方程為一元二次方程.

∵³0.

          ∴ 此時方程有兩個實數根.       

          綜上, 不論m為任何實數時, 方程 總有實數根.

（2）∵令y=0, 則 mx²+(3m+1)x+3=0.

         解得 ，.      

         ∵ 拋物線與軸交于兩個不同的整數點，且為正整數，

         ∴.                     

         ∴拋物線的解析式為.     

（3）法一：∵點P與Q在拋物線上,

      ∴.      

      ∵

      ∴.

可得 .         

      即  .      

      ∵ 點P, Q不重合,

      ∴ n¹0.

∴ .        

∴  

          

法二：∵ =(x+2)²-1，

∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=-2.

∵ 點P與Q在拋物線上, 點P, Q不重合, 且

∴ 點 P, Q關于直線 x=-2對稱. 

∴

∴ .          

下同法一.