Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點A(3,0)，與y軸交于點B，拋物線經過點A，B．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）設點M(m,0)為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N.

①求PN的最大值；

②若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，請直接寫出點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為；拋物線的解析式為；（2）①PN的最大值為3；②若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，點M的坐標為或.

【解析】

（1）先將點A坐標代入直線解析式求出c的值，從而可求得B點坐標；再由A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）①利用點M坐標、直線解析式、拋物線的解析式可求出點P、N的坐標，從而可求得PN用m表示的代數式，利用二次函數的性質求最大值即可；

②要使和相似，則需分和兩種情況討論，然后利用相似三角形對應線段成比例求解即可.

（1）將代入得，解得

則直線的解析式為

令，代入得

則點B的坐標為

將代入拋物線得：

，解得

則拋物線的解析式為；

（2）①由題意得：點P、N的橫坐標均為m，且

分別代入兩個解析式可得兩個點的坐標為：

則

當時，PN隨m的增大而增大；當時，PN隨m的增大而減小

則當時，PN取得最大值，最大值為3；

②在和中，

如果和相似，則或

當時，，

即

解得：（舍去）或

經檢驗，是方程的解

則點M的坐標為

當時，

由和兩點距離公式可得：

代入得：，解得：（舍去）或

經檢驗，是方程的解

則點M的坐標為

綜上，若以B，P，N為頂點的三角形與相似，點M的坐標為或.