Question

【題目】如圖①，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數y=（k＞0）在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F．

（1）若OA=10，求反比例函數解析式；

（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標；

（3）在（2）中的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＞0）（2）OA=C（5，）（3）P1（，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．

【解析】

（1）過點A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A點坐標為（6，8），根據題意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函數解析式：y=（x＞0）；

（2）設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S△AOH=aa=a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點，

∴S△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S△BMF=BMFM=aa=a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

∵點A，F都在y=的圖象上，

∴S△AOH=k，

∴a2=6+a2，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S平行四邊形AOBC=OBAH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三種情況：

當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，分別為：P1（，），P2（﹣，），

當∠PAO=90°時，P3（，），

當∠POA=90°時，P4（﹣，）．