Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k為常數）與拋物線交于A，B兩點，且A點在y軸左側，P點的坐標為（0，﹣4），連接PA，PB．有以下說法：
①PO²=PA•PB；
②當k＞0時，（PA+AO）（PB﹣BO）的值隨k的增大而增大；
③當時，BP²=BO•BA；
④△PAB面積的最小值為．
其中正確的是     （寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

③④。

設A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯立得：=kx，即x²﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6。
設直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，解得。∴直線PA的解析式為。
令y=0，得x=，∴直線PA與x軸的交點坐標為（，0）。
同理可得，直線PB的解析式為，直線PB與x軸交點坐標為（，0）。
∵，
∴直線PA、PA與x軸的交點關于y軸對稱，即直線PA、PA關于y軸對稱。
①說法①錯誤，理由如下：
如答圖1所示，
∵PA、PB關于y軸對稱，∴點A關于y軸的對稱點A′落在PB上。
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′。

假設結論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，∴。
又∵∠BOP=∠BOP，∴△POA′∽△PBO。
∴∠POA′=∠PBO�！唷螦OP=∠PBO。
而∠AOP是△PBO的外角，∴∠AOP＞∠PBO。矛盾。
∴說法①錯誤。
②說法②錯誤。理由如下：
易知：，∴。
由對稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴�！�。
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣（）]
=（PA+AO）（PA﹣OA）=（PA²﹣AO²）。
如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=﹣km，PD=4+km，

∴PA²﹣AO²=（PD²+AD²）﹣（OD²+AD²）
=PD²﹣OD²=（4+km）²﹣（﹣km）²=8km+16。
∵m+n=3k，∴k=（m+n）。
∴PA²﹣AO²=8•（m+n）•m+16=m²+mn+16=m²+×（﹣6）+16=m²。
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA²﹣AO²）=•m²=﹣mn=﹣×（﹣6）=16。
∴（PA+AO）（PB﹣BO）為定值，所以說法②錯誤。
③說法③正確，理由如下：
當時，聯立方程組：，得A（，2），B（，﹣1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12�！郆P²=BO•BA。故說法③正確。
④說法④正確，理由如下：
∵S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=OP•（﹣m）+OP•n=OP•（n﹣m）=2（n﹣m），
∴當k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為。故說法④正確。
綜上所述，正確的說法是：③④。