Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=2，且經過B（0，4），C（5，9），直線BC與x軸交于點A．
（1）求出直線BC及拋物線的解析式；
（2）D（1，y）在拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在兩點M，N，且MN=2，點M在點N的上方，使得四邊形BDNM的周長最小？若存在，求出M，N兩點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為3的點P．

Answer 1

解：（1）設BC直線解析式：y=kx+b
根據題意得：
解得
直線BC的解析式為：y=x+4
∵拋物線的對稱軸為x=2
設拋物線的解析式為y=（x-2）²+t，
根據題意得

解得：
拋物線的解析式為y=x²-4x+4

（2）∵若四邊形BDNM的周長最短，求出BM+DN最短即可
∵點D拋物線上，
∴D（1，1）
∴D點關于直線x=2的對稱點是D₁（3，1）
∵B（0，4）
∴將B點向下平移2個單位得到B₁（0，2）
∴直線B₁D₁交直線x=2于點N，
∵直線B₁D₁的解析式為：y=-x+2
∴N（2，）
∵MN=2∴M（2，）

（3）將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，設P到直線BC的距離為h，
故P點應在與直線BC平行，且相距3的上下兩條平行直線l₁和l₂上．
由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3．
如圖，設l₁與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，
在Rt△BEF中，EF=h=3，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直線l₁與y軸交點坐標為（0，10）
同理可求得直線l₂與y軸交點坐標為（0，-2）
∴兩直線解析式l₁：y=x+10，l₂：y=x-2．
根據題意列出方程組：①；
②
∴解得：；；；
∴滿足條件的點P有四個，它們分別是P₁（6，16），P₂（-1，9），P₃（2，0），P₄（3，1）．
分析：（1）利用待定系數法，根據題意列方程組求解即可；
（2）若四邊形BDNM的周長最短，求出BM+DN最短即可，∵點D拋物線上，
∴D（1，1）∴D點關于直線x=2的對稱點是D₁（3，1）∵B（0，4）
∴將B點向下平移2個單位得到B₁（0，2）∴直線B₁D₁交直線x=2于點N，求得直線B₁D₁的解析式即可得解；
（3）將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，設P到直線BC的距離為h，故P點應在與直線BC平行，且相距3的上下兩條平行直線l₁和l₂上．由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3．根據圖形求解即可．
點評：此題考查了二次函數的綜合應用，要注意待定系數法求函數解析式，還要注意數形結合思想的應用．