Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點，拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C。
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；
（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵圓心O在坐標原點，圓O的半徑為1， ∴點A、B、C、D的坐標分別為 ∵拋物線與直線y=x交于點M，N，且分別與圓O相切于點A和點C， ∴ ∵點在拋物線上，將的坐標代入， 得：，解之，得： ∴拋物線的解析式為：； （2）∵ ∴拋物線的對稱軸為， ∴ 連結， ∴ ∴ 又， ∴ ∴； （3）點P在拋物線上， 設過D，C點的直線為： 將點的坐標代入，得：， ∴直線DC為：， 過點B作圓O的切線BP與x軸平行，P點的縱坐標為， 將代入，得：， ∴P點的坐標為， 當時，， 所以，P點在拋物線上。