Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）證明見解析（3）點N的坐標為（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）

【解析】

試題分析：（1）根據題意求得B的坐標，解直角三角形求得D的坐標，然后根據待定系數法即可求得；

（2）根據平行四邊形的性質和直角三角形的性質求得AB=4，根據AE=3EB求得AE=3，易證得△AED∽△COD，得出∠ADE=∠CDO，由∠ADE+∠ODE=90°得出∠CDO+∠ODE=90，即可證得結論；

（3）把拋物線解析式化成頂點式，求得頂點M的坐標，然后結合B、D的坐標即可求得．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a4（﹣2）=2，解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，

∵sin∠BCD=，

∴，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAE=∠DCB=60°，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（3）存在．

∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），如圖2，

當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點B，

則點M（﹣1，）向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點N1（﹣5，）；

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，

再向上平移個單位得到點M，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點N2（3，）；

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，

再向下平移個單位得到點B，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向下平移個單位得到點N3（﹣3，﹣）．

綜上所述，點N的坐標為（﹣5，）、（3， ）、（﹣3，﹣）．