Question

等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）。
（1）求證：AM=AN；
（2）設BP=x。
①若，BM=，求x的值；
②記四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數關系式以及S的最小值；
③連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2），當x取何值時，∠BAD=15⁰？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析
（2）①
②    
③直角三角形  見解析

（1）由△ABC、△APD和△APE都是等邊三角形可得邊角的相等關系，從而用ASA證明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根據對應邊成比例得等式，解方程即可。
②應用全等三角形的判定和性質，銳角三角函數和勾股定理相關知識求得，
用x的代數式表示S，用二次函數的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=15⁰得到四邊形ADPE是菱形，應用相關知識求解。
求出DG、GH、HE的表達式，用勾股定理逆定理證明。
解：（1）證明：∵△ABC、△APD和△APE都是等邊三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60⁰，∠ADM=∠APN=60⁰�！唷螪AM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易證△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
②四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積。
∵△ADM≌△APN，∴。
∴。
如圖，過點P作PS⊥AB于點S，過點D作DT⊥AP于點T，則點T是AP的中點。

在Rt△BPS中，∵∠P=60⁰，BP=x，
∴PS=BPsin60⁰=x，BS=BPcos60⁰=x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
∴。
∴。
∴。
∴當x=1時，S的最小值為。
③連接PG，設DE交AP于點O。

若∠BAD=15⁰，
∵∠DAP =60⁰，∴∠PAG =45⁰。
∵△APD和△APE都是等邊三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四邊形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG�！唷螦PG =∠PAG =45⁰。
∴∠PGA =90⁰。
設BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=60⁰，∴BP=2t，PG=�！郃G=PG=。
∴，解得t=－1�！郆P=2t=2－2。
∴當BP=2－2時，∠BAD=15⁰。
猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是直角三角形。
∵四邊形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30^0。
∵∠BAD=15⁰，∴易得∠AGO=45⁰，∠HAO=15⁰，∠EAH=45⁰。
設AO=a，則AD="AE=2" a，OD=a�！郉G=DO－GO=（－1）a。
又∵∠BAD=15⁰，∠BAC=60⁰，∠ADO=30⁰，∴∠DHA=∠DAH=75⁰。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。
∵，
，
∴。
∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是直角三角形。