Question

【題目】如圖，矩形AOBC的頂點坐標分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動點F在邊BC上（不與B.C重合），過點F的反比例函數y＝的圖象與邊AC交于點E，直線EF分別與y軸和x軸相交于點D和G．給出下列命題：①若k=4，則△OEF的面積為；②若k＝，則點C關于直線EF的對稱點在x軸上；③滿足題設的k的取值范圍是0＜k≤12；④若DEEG=，則k=1．其中正確的命題的序號是____________（填序號）．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

（1）若k=4，則計算，故命題①錯誤；
（2）如答圖所示，若k=，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；
（3）因為點F不經過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；
（4）求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式DEEG=，求出k=1，故命題④正確．

命題①錯誤，理由如下：

∵k=4，

∴

∴

∴S△OEF=S矩形AOBCS△AOES△BOFS△CEF

=S矩形AOBC,

∴，故命題①錯誤；

命題②正確，理由如下：

∵

∴

∴

如答圖,過點E作EM⊥x軸于點M,則EM=3,OM=；

在線段BM上取一點N,使得EN=CE=，連接NF.

在Rt△EMN中,由勾股定理得：

∴

在Rt△BFN中,由勾股定理得：

∴NF=CF，

又∵EN=CE，

∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關于直線EF對稱，

故命題②正確；

命題③錯誤，理由如下：

由題意,點F與點C(4,3)不重合，所以k≠4×3=12，故命題③錯誤；

命題④正確；理由如下：

為簡化計算,不妨設k=12m,則E(4m,3),F(4,3m).

設直線EF的解析式為y=ax+b，則有

解得

∴

令x=0,得y=3m+3,∴D(0,3m+3)；

令y=0,得x=4m+4,∴G(4m+4,0).

如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM=AE=4m，EM=3.

在Rt△ADE中，AD=ODOA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；

在Rt△MEG中,MG=OGOM=(4m+4)4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.

∴DEEG=5m×5=25m=,解得 ，

∴k=12m=1，故命題④正確，

綜上所述，正確的命題是：②④，

故答案為：②④.