Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+2x+k+2與x軸的公共點有兩個．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k=1時，求拋物線與x軸的公共點A和B的坐標及頂點C的坐標；
（3）觀察圖象，當x取何值時y＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=﹣x2+2x+k+2與x軸有兩個交點．
∴△=22﹣4×（﹣1）×（k+2）＞0
解得：k＞﹣3；
（2）解：當k=1時，二次函數是y=﹣x2+2x+3，
令y=0，得﹣x 2+2x+3=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=3
∴拋物線與X軸的公共點A、B的坐標分別是（﹣1，0）、（3，0），
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴拋物線的頂點C的坐標是（1，4）
（3）解：由圖象可知：當x=﹣1或x=3時，y=0；
當﹣1＜x＜3時，y＞0．

【解析】（1）抓住已知二次函數與x軸有兩個交點得出b2-4ac＞0，列不等式求出解集即可。
（2）將k=1代入函數解析式求出二次函數解析式，再根據y=0，解關于x的一元二次方程，求出x的值，就可得出拋物線與X軸的公共點A、B的坐標；然后將二次函數解析式配方成y=a（x-h）2+k的形式，就可求出其頂點坐標。
（3）先根據頂點坐標，拋物線與x軸的交點坐標、拋物線與y軸的交點坐標畫出函數圖像，再觀察圖像y＞0，即是觀察x軸上方的圖像，就可寫出自變量的取值范圍。