Question

已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，CG是⊙O的切線交AB的延長線于點G，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG∥AD嗎？說明理由；
（2）證明：點E為OB的中點．

Answer 1

解：（1）CG∥AD，理由如下：
∵CG是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面內，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；

（2）證法一：
證明：如圖（1），連接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，
且CF、AE過圓心O，
，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；
在Rt△COE中，OE=OC，
∴OE=OB，
∴點E為OB的中點；

證法二：
證明：如圖（2），連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，
∵△BDE∽△OCE，
∴，
∵AE⊥CD，且AE過圓心O，
∴ED=CE，
∴=1，即BE=OE，
∴點E為OB的中點．
分析：（1）根據切線的性質知CG⊥CF，再由已知條件CF⊥AD，可以根據在同一平面內，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行判定CG∥AD；
（2）證法一：連接AC構建等邊三角形ACD，然后根據等邊三角形的“三合一”、三個內角都是60°的性質推知∠FCD=30°；最后利用垂徑定理和30°的直角邊是斜邊的一半求得OE=OB，即點E為OB的中點；
證法二：連接BD構建平行線CF∥BD，從而易得△BDE∽△OCE；然后由相似三角形的對應邊成比例、垂徑定理可以求得=1．
點評：本題綜合考查了切線的性質、圓周角定理已經垂徑定理．解答（1）時，借用了“同一平面內，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”這一平行線的判定定理．