Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點，AC與DE交于點F．

（1）求證：CE∥AD；

（2）求證：AC2＝ABAD；

（3）若AC＝2，AB＝4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）欲證明CE∥AD，只要證明∠ACE＝∠CAD即可；

（2）由AC平分∠DAB得∠DAC＝∠CAB，加上∠ADC＝∠ACB＝90°，可證△ADC∽△ACB，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（3）先求AD的長，CE的長，通過證明△AFD∽△CFE，可得．

證明：（1）∵E為AB中點，∠ACB＝90°

∴CE＝AB＝AE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠DAC＝∠CAB，

∴∠DAC＝∠ECA，

∴CE∥AD；

（2）證明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ABAD；

（3）由（2）證得，AC2＝ABAD，

∵AC＝2，AB＝4，

∴12＝4AD，

∴AD＝3，

∵∠ACB＝90°，E為AB的中點，

∴CE＝AB＝2，

∵CE∥AD

∴△AFD∽△CFE，

∴．