Question

【題目】已知：如圖，矩形ABCD中，點E、F分別在DC，AB邊上，且點A、F、C在以點E為圓心，EC為半徑的圓上，連接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB＝6，設BC＝x，AF＝y．

（1）求證：∠CAB＝∠CEG；

（2）①求y與x之間的函數關系式． ②x＝　 　時，點F是AB的中點；

（3）當x為何值時，點F是的中點，以A、E、C、F為頂點的四邊形是何種特殊四邊形？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①y＝﹣x2+6②3（3）2

【解析】

（1）連接EF，由于EG經過圓心E，且與弦CF垂直，由垂徑定理知∠CEF＝2∠CEG，而圓周角∠CAF和圓心角∠CEG所對的弧正好相同，由圓周角定理知∠CEG＝2∠CAF，由此得證；

（2）①設⊙O的半徑為r，連接EA、EF；由于EA＝EF，那么E點在AF的垂直平分線上，因此AF＝2DE，即y＝2（6﹣r），所以只需求出r、x的關系式即可；Rt△ADE中，AD＝x，用r可表示出AE、DE的長，即可由勾股定理求得r、x的關系式，由此得解；②當F是AB中點時，AF＝y＝3，將其代入①的函數關系式中，即可求得x的值；

（3）當F是弧AC的中點時，EF垂直平分AC，可得AE＝EC，AF＝FC；易知∠AEF＝∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行線的內錯角，等量代換后可得∠AEF＝∠AFE＝∠FAE，由此可證得△EAF是正三角形，由此可證得四邊形AECF的四邊都相等，即四邊形AECF是菱形；此時∠CFB＝∠EAF＝60°，在Rt△CFB中，易知BF＝CF，而AF＝FC，那么BF即為AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的長，進而可得到BC（即x）的長．

（1）連接EF（如圖1），

∵點A、F、C在以點E為圓心，EC為半徑的圓上，

∴EF＝EC，

∵EG⊥CF，

∴∠CEF＝2∠CEG，

∵∠CEF＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CEG；

（2）（如圖2）①連接EF、EA，

設⊙E的半徑為r，

在Rt△ADE中，EA＝r，DE＝6﹣r，AD＝x，

∴x2+（6﹣r）2＝r2，r＝x2+3，

∵EF＝EA，

∴AF＝2DE，

即y＝2（6﹣r）＝﹣x2+6；

②點F是AB的中點時，y＝3，即﹣x2+6＝3，

∴x＝；

（3）（如圖3）

當x＝時，F是弧AC的中點．此時四邊形AECF菱形；

理由如下：

∵點F是弧AC的中點，

∴∠AEF＝∠CEF，AF＝CF，

∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠CEF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，

∵AE＝EF，

∴AE＝AF＝CE＝CF，

∴△AEF和△CEF都是正三角形，

∴四邊形AECF是菱形，且∠CEF＝60°，

∴∠BCF＝30°，∴BF＝CF＝AF＝AB＝2，BC＝．