Question

3．如圖．在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，-4），C是x軸上一動點，過C作CD∥AB交y軸于點D．
（1）$\frac{OC}{OD}$值是$\frac{3}{4}$．
（2）若以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積等于54，求點C的坐標．
（3）將△AOB繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AO′B′，設D的坐標為（0，n），當點D落在△AO′B′內部（包括邊界）時，求n的取值范圍．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）根據△AOB∽△COD，利用相似三角形的對應邊相等即可求解；
（2）分成A在x軸負半軸上和A在x軸的正半軸上兩種情況進行討論，利用四邊形的面積公式以及列方程求解；
（3）求得O′B′與y軸的交點坐標以及直線AB′與y軸的交點，即可求解．

解答 解：（1）∵A的坐標是（3，0），B的坐標是（0，-4），
∴OA=3，OB=4．
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$；
（2）設OC=3x，則OD=4x，
則AC=3+3x，BD=4+4x，
當A在x軸負半軸上時：
∵四邊形ABCD的面積是54，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=54，即$\frac{1}{2}$（3+3x）（4+4x）=54，
解得：x=2或-4（舍去）．
則C的坐標是（-6，0）；
當A在x軸的正半軸上時，S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×3a•4a-$\frac{1}{2}$×3×4=54，
解得：a=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$（舍去）．
則C的坐標是（3$\sqrt{10}$，0）．
（3）O′的坐標是（3，3），
則O′B′與y軸的交點坐標是（0，3）；
則B′的坐標是（-1，3）．
設AB′的解析式是y=kx+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
則函數的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
當x=0時，y=$\frac{9}{4}$．即直線AB′與y軸的交點是（0，$\frac{9}{4}$）．
則n的范圍是$\frac{9}{4}$≤n≤3．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，以及待定系數法求函數的解析式，正確確定點D落在△AO′B′內部（包括邊界）時所在的范圍是關鍵．