Question

（2011•成都）已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，⊙O經過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．
（1）求證：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=（a為大于零的常數），求BK的長：
（3）若F是EG的中點，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形據ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；
（2）∵AB=a，AD==BC，
∴AC===
∵BK⊥AC，
∴△BKC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴BK=a，
∴BK=a．
（3）連接OF，

∵ABCD為矩形，
∴=，
∴EF=ED=×6=3，
∵F是EG的中點，
∴GF=EF=3，
∵△AFD≌△HBF，
∴HF=FE=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，ABCD為矩形，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，
∴AC=9，
則AO=．

解析