Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于點F。

（1）求證：AE=BE
（2）求證：FE是⊙O的切線
（3）若BC=6，FE=4，求FC和AG的長。

Answer 1

（1）連接EC，根據BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；（2）連接OE，根據三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結論；（3）CF=2，

解析試題分析：（1）連接EC，根據BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；
（2）連接OE，根據三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結論；
（3）由BC=2OE=6可得OE=3，再根據勾股定理可求得OF=5，即得CF=2，由OE∥AC可得△FCG∽△FEO，根據相似三角形的性質可求得CG的長，從而求得結果.
（1）連接EC，

∵BC為⊙OD 的直徑，
∴CE⊥AB
又∵AC=BC，
∴AE=BE；
（2）連接OE，
∵點O、E分別是BC、AB的中點，
∴OE∥AC，
∵EG⊥AC， 
∴OE⊥EF
∴FE是⊙O的切線；
（3）∵BC=2OE=6，
∴OE=3
∵FE=4，   
∴OF=5   
∴CF=2
∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FEO 
∴ 
又∵AC=BC=6，  
∴.
考點：圓的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．