Question

已知：如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象都經過點P（2，3），點D是正比例函數圖象上的一點，過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C和點Q，DC、DQ分別交反比例函數的圖象于點F和點A，過點A作x軸的垂線，垂足為B，AB交正比例函數的圖象于點E．
（1）當點D的縱坐標為9時，求：點E、F的坐標．
（2）當點D在線段OP的延長線上運動時，試猜想AE與DF的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）設正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=k₁x，y=，把P（2，3）分別代入得k₁=，k₂=6，
∴正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=x，y=，
又∵點D的縱坐標為9，
∴對于y=x，令y=9，得9=x，解得x=6，
∴D點坐標為（6，9），
∵DC⊥x軸，DQ⊥y軸，
∴A點的縱坐標為9，點F的橫坐標為6，
∵點A與點F在反比例y=的圖象上，
∴把y=9代入y=得x=，把x=6代入y=得y=1，
∴A點坐標為（，9），F點坐標為（6，1），
又∵AB⊥x軸，
∴點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為，
而點E在直線y=x上，把x=代入y=x得y=1，
∴E點坐標為（，1）；

（2）AE與DF相等．理由如下：
設D點坐標為（a，a），
則A點的縱坐標為a，點F的橫坐標為a，
把y=a代入y=得x=，把x=a代入y=得y=，
∴A點坐標為（，a），F點坐標為（a，），
∴DF=a-；
又∵點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為，
而點E在直線y=x上，把x=代入y=x得y=，
∴E點坐標為（，）
∴AE=a-，
∴AE=DF．
分析：（1）先利用待定系數法可求出正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=x，y=；把y=9代入y=x，得x=6，可確定D點坐標為（6，9），根據題意可得A點的縱坐標為9，點F的橫坐標為6，然后把y=9代入y=得x=，把x=6代入y=得y=1，則A點坐標為（，9），F點坐標為（6，1），即得到點E的橫坐標為，x=代入y=x得y=1，從而可確定E點坐標為（，1）；
（2）設D點坐標為（a，a），與（1）一樣可得A點的縱坐標為a，點F的橫坐標為a，把y=a代入y=得x=，把x=a代入y=得y=，即可得到A點坐標為（，a），F點坐標為（a，），可得DF=a-；而點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為，把x=代入y=x得y=，則E點坐標為（，），則有AE=a-，即可得到AE=DF．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在圖象上，點的坐標滿足圖象的解析式；利用待定系數法求一次函數與反比例函數的解析式；平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同；平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相同．