Question

某汽車品牌推出一款SUV車型，公司指導銷售價為20萬元/輛．但由于產品市場反應良好，供不應求，多年來該汽車品牌經銷商及4S店一直采用加價提車的銷售模式，即購車花費=指導銷售價+加價提車費．通常，一款新車從進入市場，被市場認可，最后被新產品所淘汰的生產銷售過程約為10年．據專家估計，此SUV車型在A地1至10年的銷售數量p（輛）與年份x滿足函數關系式p=100x•（14-x）（1≤x≤10，且x取整數）．據以往市場經驗，該地區加價提車費y（萬元/輛）與年份x（1≤x≤10，且x取整數）滿足的函數關系如下表：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
加價費y（萬元/輛）	3	1.5	1	0.75	0.6	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，求出y與x之間的函數關系多；
（2）求該車型1至10年內，在A地的銷售額W（萬元）與x（年）之間的函數關系式，并求出哪年的銷售額最大，且最大銷售額是多少萬元？
（3）天有不測風云，第6年國際原油價格上漲，影響消費者的購買需求，該SUV車型出現較大庫存．為扭轉局面，應對危機，公司決定第7年起將指導銷售價在原有基礎上減少0.5a%，A地經銷商及4S店也推出提車加價費打八折的活動，結果當年A地的銷售數量比預期提高2a%，從而實現了A地第7年107800萬元的銷售額．請你參考以下數據，估算出整數a的值（0＜a＜10）．（71.4²≈5097.96，71.5²≈5112.25，71.6²≈5126.56，71.7²≈5140.89）

Answer 1

分析：（1）根據當1≤x≤6時，y與x成反比例函數關系，當7≤x≤10時，y=0.5，分別求出即可；
（2）①當1≤x≤6，且x取整數時，W=p•（20+y）=100x•（14-x）（20+

3

x

），②當7≤x≤10，且x取整數時，W=p（20+y）分別求出即可；
（3）當x=7時，P=100×7×7=4900，由題意得出：銷售價×銷量=銷售額得出[20（1-0.5a%）+0.5×0.8]×4900（1+2a%）=107800，進而求出即可．

解答：解：（1）經觀察得出：當1≤x≤6時，y與x成反比例函數關系，設y=

k

x

∵x=1時，y=3，∴k=3×1=3，∴y=

3

x

，
當7≤x≤10時，y=0.5，
∴y=

3 x (1≤x≤6，且x取整數) 0.5(7≤x≤10，且x取整數)

，
經驗證，表中其余各組數值均符合該函數關系；

（2）由題意得出：
①當1≤x≤6，且x取整數時，
W=p•（20+y）=100x•（14-x）（20+

3

x

）=-2000x²+27700x+4200，
∵-

b

2a

=-

27700

-4000

=

277

40

=6

37

40

=6.925，不是整數，
∴x=6時，W有最大值=98400；
②當7≤x≤10，且x取整數時，W=p（20+y）=100x（14-x）（20+0.5）=-2050x²+28700x，
∵-

b

2a

=7，∴x=7時，W有最大值=100450，
∵100450＞98400，
∴x=7時，W有最大值，
答：當第7年，可獲得最大銷售額100450萬元．

（3）當x=7時，P=100×7×7=4900，
由題意得出：[20（1-0.5a%）+0.5×0.8]×4900（1+2a%）=107800，
∴（20.4-10a%）（1+2a%）=22，
設a%=t，經整理得出：50t²-77t+4=0，
∵△=77 ²-4×50×4=5129，
∴t=

77± 5129

100

，
∴t₁=

77-71.6

100

≈0.054，
∴t₂=

77+71.6

100

≈1.486（不合題意舍去），
∴a=100t=5.4≈5，
故a=5．

點評：此題考查了二次函數的應用以及二次函數的最值和一元二次方程的應用等知識，此題閱讀量較大，是中考中難點問題，根據已知得出第7年指導銷售價是解題關鍵．