Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為C，對稱軸為直線x=1，且經過點A（3，-1），與y軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）經過點A的直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，若S△OPA=2S△OQA，試求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+2；（2）詳見解析；（3）點P的坐標為（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【解析】

（1）根據題意得出方程組，求出b、c的值，即可求出答案；

（2）求出B、C的坐標，根據點的坐標求出AB、BC、AC的值，根據勾股定理的逆定理求出即可；

（3）分為兩種情況，畫出圖形，根據相似三角形的判定和性質求出點PE的長，即可得出答案．

解：（1）由題意得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+2；

（2）∵由y=-x2+2x+2得：當x=0時，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）①如圖，當點Q在線段AP上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x2+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如圖，當點Q在PA延長線上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

綜上可知：點P的坐標為（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．