Question

【題目】如圖，在矩形中，把點沿對折，使點落在上的點，已知，．

（1）求點的坐標；

（2）如果一條不與拋物線對稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個交點，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線經過點，，且直線是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；

（3）已知直線與（2）中的拋物線交于，兩點，點的坐標為．求證：為定值．（參考公式：在平面直角坐標系中，已知點，，則，兩點之間的距離為）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據矩形的性質可得∠AOC=90°，然后由折疊的性質可知AF=AD=10，根據勾股定理求出OF的長，即可求出點F的坐標；

（2）根據拋物線過點O和點F，設拋物線的解析式為，然后聯立直線，根據該直線與拋物線僅有一個交點，令△=0即可求出a的值，從而求出結論；

（3）聯立方程組，設，，，根據根與系數的關系可得則，，再根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式代入并化簡即可．

解：（1）∵四邊形AOCD為矩形

∴∠AOC=90°

由折疊的性質可知AF=AD=10，

在Rt△OAF中，OF=

∴．

（2）根據題意，設拋物線的解析式為，聯立直線得：．

則由得．

故拋物線的方程為．

（3）由得．

所以設，，，如下圖所示

則，

而，．

從而，

即為定值4．