Question

如圖，含30°的兩塊相同三角板ABC和DEF都是斜邊為4cm的直角三角形，且A、E、B、D（B、E不重合）都在同一直線上，連接CE、BF．
（1）求證：四邊形CEFB是平行四邊形；
（2）當點A、E相距3cm時，將△ABC沿著AD的方向以每秒1cm的速度運動，設△ABC運動時間為t秒，請問：當t為何值時，四邊形CEFB是菱形？說明你的理由；
（3）在（2）中再猜想：四邊形CEFB有可能是矩形嗎？若能，直接寫出t的值及此矩形的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∠CAB=∠FDE=30°，
∴BC=EF，∠CBA=∠FED=60°，
∴BC∥EF，
∴四邊形CEFB是平行四邊形；

（2）解：如圖1，當t=1秒時，四邊形CEFB是菱形，
∵t=1，∴AE=3-1×1=2，
∴BE=AB-AE=4-2=2，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴BC=AB=×4=2，
∴BC=BE，
∵∠CBA=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴BC=CE，
∵四邊形CEFB是平行四邊形，
∴四邊形CEFB是菱形；

（3）解：能，如圖2，
當t=3秒時，A，E重合，B，D重合，
∵∠CAB+∠BAF=90°，∠C=∠F=90°，
∴四邊形CEFB是矩形，
S_矩形CEFB=AC×BC=2×2=4（cm²）．
分析：（1）利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠CAB=∠FDE=30°，進而求出BC=EF，BC∥EF，即可得出四邊形CEFB是平行四邊形；
（2）利用當t=1秒時，首先得出△CBE是等邊三角形，進而求出BC=CE，即可求出四邊形CEFB是菱形；
（3）當t=3秒時，A，E重合，B，D重合，即可得出矩形以及它的面積．
點評：此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定和矩形的判定以及矩形面積求法，利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出對應線段以及對應角的關系是解題關鍵．