Question

拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過點A（1，），對稱軸是直線x=2，頂點是D，與x軸正半軸的交點為點B．
（1）求拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式和頂點D的坐標；　　
（2）過點D作y軸的垂線交y軸于點C，點M在射線BO上，當以DC為直徑的⊙N和以MB為半徑的⊙M相切時，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，得，
解得：．
則拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式，頂點D（2，3）．

（2）設⊙M的半徑為r．
由當以DC為直徑的⊙N和以MB為半徑的⊙M相切時，分下列兩種情況：
①當⊙M和⊙N外切時，此時點M在線段BO上，
可得3²+（4-r-1）²=（r+1）²．
解得，
∴．
②當⊙M和⊙N內切時，此時點M在線段BO的延長線上，
可得3²+（r-1-2）²=（r-1）²．
解得，
∴．
綜合①、②可知，當⊙M和⊙N相切時，或．
分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過點A（1，），對稱軸是直線x=2，可得關于a，b的方程組，求得a，b的值，從而得到拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式；再根據頂點坐標公式即可得到頂點D的坐標；
（2）設⊙M的半徑為r．分兩種情況：①當⊙M和⊙N外切時，此時點M在線段BO上；②當⊙M和⊙N外切時，此時點M在線段BO的延長線上；列出關于r的方程，求得r的值，從而得到點M的坐標．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求函數解析式，對稱軸公式、頂點坐標公式；第（2）問注意分內切和外切兩種情況討論求解，綜合性較強．