Question

已知一次函數y=kx+m，二次函數y=2ax²+2bx+c和y=ax²+bx+c-1的圖象分別為l、E₁、E₂，l交E₁于B、C兩點，且滿足下列條件：
I）b為整數．
II）B（2-2

2

，3-2

2

），C（2+2

2

，3+2

2

）．
Ⅲ）兩個二次函數的最小值差為1．
（1）如l與E₂交于A、D兩點，求|AD|值．
（2）問是否存在一點P，從P出發作一射線分別交E₁、E₂于P₁，P₂，使得PP₁：PP₂為常數，并簡述你的理由．

Answer 1

分析：（1）把B、C點的坐標代入一次函數y=kx+m，得到m值，B、C坐標可知x_b和x_c之間的距離4

2

，A，D是E₂與l的交點，同理求得，x+m=ax²+bx+c-1，從而求得AD距離．
（2）由于l、E₁經過點A，求得點P₁，由點D過E₂得到點P₂，找到了兩點即找到了，從而得到點P的存在．

解答：解：（1）把B、C點的坐標代入一次函數y=kx+m，
解得：k=1，m=1
∵B、C在E₁上，將B、C坐標代入其二次函數，
∴3-2

2

=2a（2-2

2

）²+2b（2-2

2

）+c
3+2

2

=2a（2+2

2

）²+2b（2+2

2

）+c
經化簡得：8a+2b=1①
將E₁，E₂的函數是化簡
y₁=

2a(x+ b 2a )2+c-b2

2a

所以y₁最小值=

c-b2

2a

y₂=

a(x+ b 2a )2+c-1-b2

4a

所以y₂最小值：c-1-

b2

4a

根據兩個二次函數的最小差值為1
|c-

b2

2a

-（c-1-

b2

4a

）|=1
化簡得到|1-

2b2

1-2b

|=1
再化簡絕對值得到b=0（其中能夠得出b²+2b-1=0，但是，要求b為整數，所以，此式舍去）
再根據上面我寫的①式，得到a=

1

8

根據B、C坐標可知x_b和x_c之間的距離為4

2

應有
|x_b-x_c|=4根號2即（x_b-x_c）²=32②
因為y=x+m（之前得出了k=1），
y=2ax²+2bx+c的交點位B、C
有x+m=2ax²+2bx+c整理得2ax²+（2b-1）x+c-m=0
則x_b+x_c=4   ③
x_b×x_c=4（c-m）④
②③④整理化簡得到m-c=1⑤
A，D是E₂與l的交點，所以，x+m=ax²+bx+c-1
再根據④式，化簡整理得到ax²+（b-1）x-2=0
所以，x_a+x_d=（1-b）/a，x_a×x_d=-

2

a

所以，（x_a-x_d）²=(

1-b

a

)2-4(-

2

a

)
所以，得到|x_a-x_d|=8

2

，
即|AD|=8

2

；

（2）存在，
當m=k＞0時，

1

4

x2-

3

4

mx+k=x+m，
得x₁=0，x₂=3m+4＞0．
∴點A（0，m）．
顯然，經過點A且平行于x軸的直線與拋物線的另一交點即為點P₁（3m，m）．
又∵由題意，點P₂只能有一解，
再結合拋物線的對稱性，可知點P₂只能重合于點D．
設DE與AP₁交于點G，
由DG=AG，即m-（k-

9

16

m2）=

3

2

m，
得m=

8

3

．
∴點P₁（8，

8

3

）、點P₂（4，-

4

3

）．
故存在點P．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．