Question

設關于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的兩根x₁、x₂滿足（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，則k的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據根與系數的關系x₁+x₂=-，x₁x₂=求得x₁+x₂、x₁x₂的值，然后將其代入（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，求關于k的方程即可．
解答：解：∵關于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0有兩根，
∴△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，
∴k≥-2；
∵關于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的二次項系數a=1，一次項系數b=-2（k+1），常數項c=k²-3，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²-3；
又∵（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，
∴4（k+1）²-2（k²-3）=4，即（k+1）（k+3）=0，
解得，k=-1或k=-3（∵k≥-2，∴不合題意，舍去）．
故答案為：-1．
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系．解答此題時，注意不要漏掉一元二次方程有實數根時，根的判別式△=b²-4ac≥0這一條件．