Question

如圖，B，C，E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE．
（1）①求證：BG=DE；②圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指出，并說出旋轉過程；若不存在，請說明理由．
（2）若正方形ABCD的邊長是1，延長BG恰好交于DE的中點M，求DC+CE的值．

Answer 1

解：（1）①∵BC=DC，
∠BCG=∠DCE=90°，
CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），（3分）
∴BG=DE；

②存在，△BCG≌△DCE，①中已證明，且△BCG和△DCE有共同頂點C，則△DCE沿C點旋轉向左90°與△BCG重合；

（2）連接BD．
BD=；
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE；
又∵∠CDE+∠MEC=90°，
∴∠CBG+∠MEC=90°，
∴BM⊥DE，
又∵M是DE的中點，
∴BE=BD=，
∴DC+CE=BC+CE=．
分析：（1）①根據已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的對應邊相等，所以BG=DE；②存在，△BCG和△DCE可以通過旋轉重合．求證△BCG≌△DCE即可；
（2）因為CD=BC，所以可以將問題求DC+CE的值轉化為求BC+CE的值．連接BD．利用勾股定理求正方形ABCD的對角線BD=，利用①中的全等三角形△BCG≌△DCE的對應角相等∠CBG=∠CDE；又有直角三角形的兩個銳角互余知∠CDE+∠MEC=90°，利用等量代換求得∠CBG+∠MEC=90°，即BM⊥DE；然后由等腰三角形的性質解答即可．
點評：本題考查了全等三角形判定與性質、正方形的性質（各邊相等且各內角為90°）、旋轉的性質及勾股定理的應用．本題中求證△BCG≌△DCE是解題的關鍵，另外，作輔助線BD，將問題求DC+CE的值轉化為求BC+CE的值，降低了題的難度與梯度．