Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G．

（1）求證：BC是⊙F的切線；

（2）若點A、D的坐標分別為A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半徑；

（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）AG=AD+2CD．

【解析】

試題分析：（1）連接EF，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據平行線的性質得到∠FEB=∠C=90°，證明結論；

（2）連接FD，設⊙F的半徑為r，根據勾股定理列出方程，解方程即可；

（3）作FR⊥AD于R，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據垂徑定理解答即可．

試題解析：（1）證明：連接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切線；

（2）解：連接FD，設⊙F的半徑為r，則r2=（r﹣1）2+22，解得，r=，即⊙F的半徑為；

（3）解：AG=AD+2CD．

證明：作FR⊥AD于R，則∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四邊形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．