【題目】如圖,O為原點,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD,連結CD,某拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點D、點E(1,1).
(1)若該拋物線過原點O,則a= ;
(2)若點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,要使得符合條件的Q點的個數是4個,則a的取值范圍是 .
【答案】(1)﹣(2)a<﹣
或a>
【解析】
試題分析:(1)過點D作DF⊥x軸于點F,先通過三角形全等求得D的坐標,把D、E的坐標和c=0代入y=ax2+bx+c,根據待定系數法即可求得;
(2)若符合條件的Q點的個數是4個,則當a<0時,拋物線交于y軸的負半軸,當a>0時,拋物線與直線OQ:y=﹣x有兩個交點,得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣
x,根據根與系數的關系得出不等式,解不等式即可求得.
解:(1)①過點D作DF⊥x軸于點F,如圖1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
在△AOB和△BFD中,
,
∴△AOB≌△BFD(AAS)
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐標是(3,1),
把D(3,1),E(1,1),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,
得,
解得a=﹣,
故答案為﹣;
(2)如圖2,∵D(3,1),E(1,1),
拋物線y=ax2+bx+c過點E、D,代入可得,解得
,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.
分兩種情況:
①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時,若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數是4個,則點Q在x軸的上、下方各有兩個.
(i)當點Q在x軸的下方時,直線OQ與拋物線有兩個交點,滿足條件的Q有2個;
(ii)當點Q在x軸的上方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上,與y軸的交點在y軸的負半軸,所以3a+1<0,解得a<﹣;
②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時,點Q在x軸的上、下方各有兩個,
(i)當點Q在x軸的上方時,直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,符合條件的點Q有兩個;
(ii)當點Q在x軸的下方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,符合條件的點Q才兩個.
根據(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO==
,此時直線OQ的斜率為﹣
,則直線OQ的解析式為y=﹣
x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣
x有兩個不相等的實數根,所以△=(﹣4a+
)2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+
>0,解得a>
(a<
舍去)
綜上所示,a的取值范圍為a<﹣或a>
.
故答案為a<﹣或a>
.
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【題目】如圖,點D是線段BC的中點,分別以點B,C為圓心,BC長為半徑畫弧,兩弧相交于點A,連接AB,AC,AD,點E為AD上一點,連接BE,CE.
(1)求證:BE=CE;
(2)以點E為圓心,ED長為半徑畫弧,分別交BE,CE于點F,G.若BC=4,EB平分∠ABC,求圖中陰影部分(扇形)的面積.
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【題目】如圖,已知函數y=﹣x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,與函數y=2x的圖象交于點M,點M的橫坐標為2,在x軸上有一點P(a,0)(其中a>2),過點P作x軸的垂線,分別交函數y=﹣x+b和y=2x的圖象于點C,D.
(1)求點A的坐標;
(2)若OB=CD,求a的值.
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【題目】如圖,直線AB,CD被直線EF所截,AB∥CD,FG平分∠EFD .
(1)若∠1=54° ,求∠2的度數(完成填空).
解:(1)∵AB∥CD(已知)
∴∠ = 180 ° -∠1( )
∵ FG平分∠EFD,∠1=54°(已知)
∴∠GFD=∠EFD = °
∵ AB∥CD
∴∠2 = - ∠GFD = ° (兩直線平行,同旁內角互補)
(2)作∠FGB 的角平分線GH交CD于點H. 若GH∥EF 時,求∠1的度數.
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【題目】為執行“均衡教育”政策,某縣2014年投入教育經費2500萬元,預計到2016年底三年累計投入1.2億元.若每年投入教育經費的年平均增長 百分率為x,則下列方程正確的是( )
A.2500(1+x)2=1.2 B.2500(1+x)2=12000
C.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=1.2 D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000
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【題目】據有關資料顯示,2014年通過國家科技支撐計劃,遵義市獲得國家級科技專項重點項目資金5533萬元,將5533萬用科學記數法可表示為( )
A.5.533×108
B.5.533×107
C.5.533×106
D.55.33×106
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