Question

17．如圖，△ABC中，∠B=∠ACB，點D在AC的延長線上，點E在AB上，且BE=CD，DE交BC于G，EF⊥BC于F，求證：BC=2FG．

Answer 1

分析 作ED∥AC交BC于D，根據平行線的性質得到∠BDE=∠ACB，∠GED=∠F，∠EDG=∠FCG，由等腰三角形的性質得到∠B=∠ACB，等量代換得到∠B=∠BDE，于是得到BE=ED，推出△GED≌△CFG，根據全等三角形的性質得到GH=GC，根據等腰三角形的性質得到BF=FH，等量代換即可得到結論．

解答 解：作EH∥AC交BC于H，
∴∠BHE=∠ACB，∠GEH=∠D，∠EHG=∠DCG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BHE，
∴BE=EH．
∵CD=BE，
∴CD=HE．
在△GEH和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEH=∠D}\\{HE=CD}\\{∠EHG=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△GEH≌△CDG（ASA），
∴GH=GC，
∵BE=EH，EF⊥BH，
∴BF=FH，
∴GH+FH=CG+BF=FG，
∴BC=2FG．

點評 本題考查了等腰三角形的性質的運用，平行線的性質的運用，全等三角形的判定和性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．