Question

在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分線AE，CF相交于點O，
（1）如圖1，若AB=BC，求證：OE=OF；
（2）如圖2，若AB≠BC，試判斷線段OE與OF是否相等，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可證明△ACF≌△CAE，再由角平分線的性質得出∠OAC=∠OCA，從而得出OE=OF；
（2）過點O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分別為H，M，N，連接OB．根據角平分線的性質定理以及逆定理可推得點O在∠B的平分線上，從而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能證明Rt△OFN≌Rt△OEM，則OE=OF成立．

解答：證明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，
∴∠A=∠C=60°，
∵AECF分別平分∠A，∠C，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），
∴AE=CF，
∴OE=OF；

（2）過點O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分別為H，M，N，連接OB．
∵點O在∠A，∠C的平分線上，
∴ON=OH，OH=OM，從而OM=ON，
∴點O在∠B的平分線上   （1分）
∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM   （2分）
又∠OEM=∠B+

1

2

∠A=60°+

1

2

∠A
∠OFN=∠A+

1

2

∠C=

1

2

（∠A+∠C）+

1

2

∠A=

1

2

（180°-60°）+

1

2

∠A=60°+

1

2

∠A．
∴∠OEM=∠OFN．（2分）
∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）
∴OE=OF．（1分）

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及角平分線的性質，注意一題多解以及方法的簡單性．