Question

【題目】如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．

（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P．
①當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連結OP，試求△OPH的面積；
②當m=﹣3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F．是否存在這樣的點P，使以P，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：A（4，0），C（0，4），對稱軸為x=1．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有：

，

解得 ．

∴拋物線的函數解析式為：y=﹣ x2+x+4

（2）

解：①當m=0時，直線l：y=x．

∵拋物線對稱軸為x=1，

∴CP=1．

如答圖1，延長HP交y軸于點M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，

∴OM=OC+CM=5．

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP= （ OM）2﹣ OMCP= ×（ ×5）2﹣ ×5×1= ﹣ = ，

∴S△OPH= ．

②當m=﹣3時，直線l：y=x﹣3．

設直線l與x軸、y軸交于點G、點D，則G（3，0），D（0，﹣3）．

假設存在滿足條件的點P．

（i）當點P在OC邊上時，如答圖2﹣1所示，此時點E與點O重合．

設PE=a（0＜a≤4），

則PD=3+a，PF= PD= （3+a）．

過點F作FN⊥y軸于點N，則FN=PN= PF，∴EN=|PN﹣PE|=| PF﹣PE|．

在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF= = ．

若PE=PF，則：a= （3+a），解得a=3（ +1）＞4，故此種情形不存在；

若PF=EF，則：PF= ，整理得PE= PF，即a=3+a，不成立，故此種情形不存在；

若PE=EF，則：PE= ，整理得PF= PE，即 （3+a）= a，解得a=3．

∴P1（0，3）．

(ii)當點P在BC邊上時，如答圖2﹣2所示，此時PE=4．

若PE=PF，則點P為∠OGD的角平分線與BC的交點，有GE=GF，過點F分別作FH⊥PE于點H，FK⊥x軸于點K，

∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF為等腰直角三角形，

設GE=GF=t，則GK=FK=EH= t，

∴PH=HF=EK=EG+GK=t+ t，

∴PE=PH+EH=t+ t+ t=4，

解得t=4 ﹣4，

則OE=3﹣t=7﹣4 ，

∴P2（7﹣4 ，4）

(iii)∵A（4，0），B（2，4），

∴可求得直線AB解析式為：y=﹣2x+8；

聯立y=﹣2x+8與y=x﹣3，解得x= ，y= ．

設直線BA與直線l交于點K，則K（ ， ）．

當點P在線段BK上時，如答圖2﹣3所示．

設P（a，8﹣2a）（2≤a≤ ），則Q（a，a﹣3），

∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，

∴PF= （11﹣3a）．

與(i)同理，可求得：EF= ．

若PE=PF，則8﹣2a= （11﹣3a），解得a=1﹣2 ＜0，故此種情形不存在；

若PF=EF，則PF= ，整理得PE= PF，即8﹣2a= （11﹣3a），解得a=3，符合條件，此時P3（3，2）；

若PE=EF，則PE= ，整理得PF= PE，即 （11﹣3a）= （8﹣2a），解得a=5＞ ，故此種情形不存在．

（iv）當點P在線段KA上時，如答圖2﹣4所示．

∵PE、PF夾角為135°，

∴只可能是PE=PF成立．

∴點P在∠KGA的平分線上．

設此角平分線與y軸交于點M，過點M作MN⊥直線l于點N，則OM=MN，MD= MN，

由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3 ）．

又因為G（3，0），

可求得直線MG的解析式為：y=（ ﹣1）x+3﹣3 ．

聯立直線MG：y=（ ﹣1）x+3﹣3 與直線AB：y=﹣2x+8，

可求得：P4（1+2 ，6﹣4 ）．

（v）當點P在OA邊上時，此時PE=0，等腰三角形不存在．

綜上所述，存在滿足條件的點P，點P坐標為：（0，3）、（3，2）、（7﹣4 ，4）、（1+2 ，6﹣4 ）．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）①如答圖1，作輔助線，利用關系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解；②本問涉及復雜的分類討論，如答圖2所示．由于點P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三種情形，故討論與計算的過程比較復雜，需要耐心細致、考慮全面．