Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，點E從點C出發，以1cm/s的速度沿CB向點B移動，點F從點B出發以2cm/s的速度沿BA方向向點A移動，當點F到達點A時，點E停止運動；設運動的時間為t（s） （0＜t＜2.5）．問：
（1）當t為何值時，EF平分等腰梯形ABCD的周長？
（2）若△BFE的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使五邊形AFECD的面積與△BFE的面積之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，說明理由．
（4）在點E、F運動的過程中，若線段EF=cm，此時EF能否垂直平分AB？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知得出BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12，代入求出即可；
（2）過A作AN⊥BC于N，過F作FG⊥BC于G，求出AN，根據△ABN∽△FGB得出比例式，求出FG，根據三角形面積公式求出即可；
（3）假設存在，根據已知和三角形面積、梯形面積得出方程，求出即可；
（4）假設存在，證△ABN∽△BEF，得出比例式，求出EF即可．
解答：解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，
∴BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12，
∴10-t+2t=12，
t=2；
答：當t為2s時，EF平分等腰梯形ABCD的周長；
（2）
過A作AN⊥BC于N，過F作FG⊥BC于G，
則BN=（BC-AD）=×（10-4）=3（cm），
∵AN⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AN，
△ABN∽△FGB，
∴=，
∴=，
FG=t，
∴S_△BEF=×BE×FG=（10-t）•t，
S=-t²+8t；

（3）假設存在某一時刻t，使五邊形AFECD的面積與△BFE的面積之比是3：2，
S_{五邊形AFECD}=S_梯形ABCD-S_△BFE=×（4+10）×4-（-t²+8t）=28+t²-8t，
即2（28+t²-8t）=3（-t²+8t），
解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-；
即存在某一時刻t，使五邊形AFECD的面積與△BFE的面積之比是3：2，t的值是（5-）s；

（4）假設存在EF垂直平分AB，
則△ABN∽△BEF，
=，
=，
EF=≠，
即線段EF=cm，此時EF不能垂直平分AB．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，梯形的面積，三角形的面積，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生分析問題和解決問題的能力．