Question

【題目】一個三位正整數N，各個數位上的數字互不相同且都不為0，若從它的百位、十位、個位上的數字任意選擇兩個數字組成兩位數，所有這些兩位數的和等于這個三位數本身，則稱這樣的三位數N為“公主數”．例如：132，選擇百位數字1和十位數字3所組成的兩位數為：13和31，選擇百位數字1和個位數字2組成的兩位數為：12和21，選擇十位數字3和個位數字2所組成的兩位數為：32和23，因為13+31+12+21+32+23＝132，所以132是“公主數”．一個三位正整數，若它的十位數字等于百位數字與個位數字的和，則稱這樣的三位數為“伯伯數”．

（1）判斷123是不是“公主數”？請說明理由．

（2）證明：當一個“伯伯數”是“公主數”時，則z＝2x．

（3）若一個“伯伯數”與132的和能被13整除，求滿足條件的所有“伯伯數”．

Answer 1

【答案】（1）123不是“公主數”．（2）詳見解析；（3）這個“伯伯數”為154或297或583或440．

【解析】

（1）根據“公主數”的定義判斷即可；

（2）由題意 ，消去y即可解決問題；

（3）設“伯伯數”為，則y＝x+z，則有100x+10y+z+132＝110x+11z+11×12＝11（10x+z+12），由一個“伯伯數”與132的和能被13整除，可得10x+z+12＝13×2或13×3或13×5或13×4，求出整數解即可解決問題；

（1）解：因為13+31+12+21+32+23＝132≠123，

所以123不是“公主數”．

（2）證明：由題意，

∴22（x+x+z+z）＝100x+10（x+z）+z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x．

（3）設“伯伯數”為，則y＝x+z，

100x+10y+z+132＝110x+11z+11×12＝11（10x+z+12），

∵一個“伯伯數”與132的和能被13整除，

∴10x+z+12＝13×2或13×3或13×5或13×4

∴或或或

∴這個“伯伯數”為154或297或583或440．