Question

【題目】如圖，已知：AB為⊙O的弦（非直徑），E為AB的中點，EO的延長線與⊙O相交于C，CM∥AB，BO的延長線與⊙O相交于F，與CM相交于D．

①求證：EC⊥CD；

②當EO：OC=1：3，CD=4時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】①證明見解析②

【解析】

①根據垂徑定理不難得出OE⊥AB．又有AB∥CM，由此便可證得；
②AB∥CD，不難得出EO：OC=1：3；然后用半徑分別表示出OC，OD，CD，根據勾股定理來求出半徑的值．

①證明：E為弦AB（非直徑）的中點，O為圓心，

∴∠OEB=90°，

∵∠ECD=∠OEB=90°，

即EC⊥CD；

②解：∵CD∥AB，EO：OC=1：3，

∴，

設OC=BO=x，則OD=3x，又CD=4，

在Rt△OCD中，由OC2+CD2=OD2，x2+42=（3x）2，

解得：x1= ，x2=﹣（舍去），

∴BO=，

即⊙O的半徑為．