Question

（2014•金山區一模）如圖，在?ABCD中，E是AB的中點，ED和AC相交于點F，過點F作FG∥AB，交AD于點G．
（1）求證：AB=3FG；
（2）若AB：AC=

2

：

3

，求證：DF²=DG•DA．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形的性質、線段中點的定義推知

AF

FC

=

EF

ED

=

1

2

．然后由平行線的性質和平行線分線段成比例得得到：

FG

CD

=

AF

AC

=

1

3

，所以

FG

AB

=

1

3

，即AB=3FG；
（2）根據已知條件可以設AB=

2

k，AC=

3

k，則AE=

2

2

k，AF=

3

3

k．通過證△AEF∽△ACB，得到對應角∠AEF=∠ACB．然后易證△FDG∽△ADF，所以

DF

DA

=

DG

DF

，即DF²=DG•DA．

解答：證明：（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
又∵E是AB的中點，
∴

AF

FC

=

EF

ED

=

1

2

．
∵FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴

FG

CD

=

AF

AC

=

1

3

，
∴

FG

AB

=

1

3

，
∴AB=3FG；

（2）設AB=

2

k，AC=

3

k，
則AE=

2

2

k，AF=

3

3

k．
∴

AE

AC

=

2 2 k

3 k

=

6

6

，

AF

AB

=

3 3 k

2 k

=

6

6

，
∴

AE

AC

=

AF

AB

=

6

6

．
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB．
∵FG∥AB，AD∥BC；
∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF．
又∵∠FDG=∠ADF，
∴△FDG∽△ADF，
∴

DF

DA

=

DG

DF

，
∴DF²=DG•DA．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．