Question

為參加學校科技節比賽，小明利用如圖的兩塊邊角料木板做模型，其中一塊是邊長為60cm的正方形；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形（如圖①），小明想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材．他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區域（如圖②），由于受木板紋理的限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點，且頂點B所對的頂點在EF上．
（1）求FC的長；
（2）利用圖②求出矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x（cm）為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形可得AD∥BG所以△DEF∽△CGF，再根據

DF

FC

=

DE

CG

，得出

60-FC

FC

=

30

60

，即可求出FC的長；
（2）先過點P分別作PN⊥BG于點N，PM⊥AB于點M，根據FC∥PN，得出△GFC∽△GPN，

FC

PN

=

GC

GN

，再根據BG=120，BC=60，求出CG，因為PN=x，則

40

x

=

60

GN

，GN=

3

2

x，從而求出BN=120-

3

2

x，
最后得出設矩形的面積y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400即可求出矩形的最大面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

DF

FC

=

DE

CG

，
∴

60-FC

FC

=

30

60

，
∴FC=40（cm）

（2）如圖，設矩形頂點B的對應點為P，
當頂點P在EF上時，過點P分別作PN⊥BG于點N，PM⊥AB于點M．
∵FC∥PN，
∴△GFC∽△GPN，
∴

FC

PN

=

GC

GN

，
∵BG=120，BC=60，
∴CG=BG-BC=120-60=60，
∵PN=x，則

40

x

=

60

GN

，
∴GN=

3

2

x，
∴BN=120-

3

2

x，
∴設矩形的面積y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400．
∴當x=40時，y的最大值為2400（cm²）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、二次函數；本題的關鍵是根據相似三角形的判定與性質表示出矩形的面積，得出二次函數．