Question

某工廠用如圖所示的長方形和正方形紙板做橫式、豎式兩種長方體形狀的無蓋包裝紙盒．若有長方形紙板171張，正方形紙板82張，要做橫式、豎式紙盒共50個
（1）若按紙盒的生產個數來分，有哪些生產方案？
（2）已知橫式紙盒的利潤為每個8元，豎式紙盒的利潤為每個10元，若僅從銷售的利潤考慮，以上哪種方案的利潤最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）設生產橫式的無蓋長方體包裝盒x個，則生產豎式的無蓋長方體包裝盒（50-x）個，根據題意可得兩個關系式為：A種紙盒使用長方形紙板的個數+B種紙盒使用長方形紙板的個數≤長方形紙板的張數，A種紙盒使用正方形紙板的個數+B種紙盒使用正方形紙板的個數≤正方形紙板的張數，把相關數值代入求正整數解即可；
（2）設銷售利潤為W元，生產橫式紙盒x個，根據題意可得：總利潤=橫式紙盒的利潤×橫式紙盒的個數+豎式紙盒的利潤×豎式紙盒的個數，再根據函數關系式確定x的值，即可得到答案．

解答：解：（1）設生產橫式的無蓋長方體包裝盒x個，則生產豎式的無蓋長方體包裝盒（50-x）個．
由題意得，

3x+4(50-x)≤171 2x+50-x≤82.

（3分）
解得，29≤x≤32．
∵x是整數，
∴x₁=29，x₂=30，x₃=31，x₄=32．（4分）
答：有4種生產方案，分別是：
生產橫式包裝盒29個，豎式包裝盒21個；
生產橫式包裝盒30個，豎式包裝盒20個；
生產橫式包裝盒31個，豎式包裝盒19個；
生產橫式包裝盒32個，豎式包裝盒18個．（5分）

（2）設銷售利潤為W元，生產橫式紙盒x個，
則w=8x+10（50-x）=-2x+500（7分）
∵-2＜0，W隨x 的增大而減小，
∴當x=29時，W最大，最大值為442元；
答：生產橫式紙盒29個，豎式紙盒21個，最大利潤為442元．（9分）

點評：此題主要考查了一元一次方程的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題意，根據豎式及橫式數量的關系設出未知數，列出不等式組求解是解題關鍵．