Question

建立平面直角坐標系（如圖所示），OA=OB，點P自點A出發沿線段AB勻速運動至點B停止，同時點D自原點出發沿x軸正方向勻速運動，在點P、D運動的過程中，始終滿足PO=PD，過點O、D向AB作垂線，垂足分別為點C、E，設OD的長為x
（1）求AP的長（用含x的代數式表示）
（2）在點P、D運動的過程中，線段PC與BE是否相等？若相等，請給予證明；若不相等，請說明理由；
（3）設以點P、O、D、E為頂點的四邊形面積為y，請直接寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）作PG⊥x軸于點G，PF⊥y軸于點F，
在Rt△APF中，
∵OA=OB，
∴∠PAF=45°，
∴PF=AP•sin45°=AP，
∵OG=PF，即=AP，
∴AP=x （2分）；

（2）結論：PC=BE．
①當0≤x＜10時，
∵PC=AC-AP=5-x，BE=BD=（10-x）=，
∴PC=BE，

②當10≤x≤20時，如上圖
∵PC=AP-AC=，BE=BD=（x-10）=，
∴PC=BE，
綜合①②PC=BE；

（3）①當0＜x＜10時，
S_{四邊形PODE}=S_△AOB-S_△AOP-S_△DEB，
=，
=-x²+x+25，
②當10≤x≤20時，
S_{四邊形PODE}=S_△POD+S_△DOE
=x（10-）+x•，
=x．
分析：（1）首先作輔助線PG⊥x軸于點G，PF⊥y軸于點F．因為在Rt△APF中PF=AP•sin45°，在等腰三角形POD中，OG=．那么通過矩形FPGO的兩對邊FP=OG建立AP與OD間的聯系．列出AP關于x的關系式．
（2）分0≤x＜10，10≤x≤20兩種情況，根據圖形求得PC、BE用x表示的表達式，驗證相同．
（3）分0≤x＜10，10≤x≤20兩種情況，結合圖形求得四邊形PODE面積用x表示表達式．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到求幾何圖形面積通過幾個三角形的面積求得．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．