Question

（2012•佛山）規律是數學研究的重要內容之一．
初中數學中研究的規律主要有一些特定的規則、符號（數）及其運算規律、圖形的數值特征和位置關系特征等方面．
請你解決以下與數的表示和運算相關的問題：
（1）寫出奇數a用整數n表示的式子；
（2）寫出有理數b用整數m和整數n表示的式子；
（3）函數的研究中，應關注y隨x變化而變化的數值規律（課本里研究函數圖象的特征實際上也是為了說明函數的數值規律）．
下面對函數y=x²的某種數值變化規律進行初步研究：

xi	0	1	2	3	4	5	…
yi	0	1	4	9	16	25	…
yi+1-yi	1	3	5	7	9	11	…

由表看出，當x的取值從0開始每增加1個單位時，y的值依次增加1，3，5…
請回答：
①當x的取值從0開始每增加

1

2

個單位時，y的值變化規律是什么？
②當x的取值從0開始每增加

1

n

個單位時，y的值變化規律是什么？

Answer 1

分析：（1）n是任意整數，偶數是能被2整除的數，則偶數可以表示為2n，因為偶數與奇數相差1，所以奇數可以表示為2n+1．
（2）根據有理數是整數與分數的統稱，而所有的整數都可以寫成分數的形式，據此可以得到答案；
（3）根據圖表計算出相應的數值后即可看出y隨著x的變化而變化的規律；

解答：解：（1）n是任意整數，則表示任意一個奇數的式子是：2n+1；

（2）有理數b=

m

n

（n≠0）；

（3）①當x=0時，y=0，
當x=

1

2

時，y=

1

4

，
當x=1時，y=1，
當x=

3

2

時，y=

9

4

．
故當x的取值從0開始每增加

1

2

個單位時，y的值依次增加

1

4

、

3

4

、

5

4

…

②當x=0時，y=0，
當x=

1

n

時，y=

1

n2

，
當x=

2

n

時，y=

4

n2

，
當x=

3

n

時，y=

9

n2

，
故當x的取值從0開始每增加

1

n

個單位時，y的值依次增加

1

n2

、

3

n2

、

5

n2

…

點評：本題考查了二次函數的性質及實數的性質，解題的關鍵是發現規律并利用規律解題．