Question

【題目】如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）由已知條件得到△BOC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠1=∠2=60°，由角平分線的性質得到∠1=∠3，根據平行線的性質得到∠OAM=90°，于是得到結論；

（2）根據等邊三角形的性質得到∠OAC=60°，根據三角形的內角和得到∠CAD=30°，根據勾股定理得到AD的長，于是得到結論．

（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等邊三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切線；

（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=，∴S陰影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×﹣ =．