Question

（2013•南充模擬）如圖，已知矩形ABCD中，E為AD上一點，BE⊥CE．
（1）求證：△EAB∽△CDE；
（2）若AB=3，AD=8，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據“矩形的四個角都是直角”、“同角的余角相等”推知△EAB和△CDE中的對應角∠A=∠D=90°，∠ABE=∠DEC，則由相似三角形的判定定理可以證得結論；
（2）根據（1）中的相似三角形的對應邊成比例來求線段AE的長度．

解答：（1）證明：如圖，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°．
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∴△EAB∽△CDE；

（2）解：如圖，在矩形ABCD中，AB=CD=3．
由（1）知，△EAB∽△CDE．則

AB

DE

=

AE

DC

，即

3

8-AE

=

AE

3

，
解得，AE=4±

7

．即AE的長度是4±

7

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質．解題時，利用了“矩形的四個角都是直角”、“矩形的對邊相等”的性質．