Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動．動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），且分別與y軸、線段AB交于E、F點，當P點到達O點時，點P和直線EF均停止運動．連結FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．
（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積．
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出A和B點的坐標，再根據當t=1秒時，得出P點坐標，由圖形可知點F與點E的縱坐標都為1，把y=1代入y=-x+20中，
求出x的值，得出點F的坐標，最后根據梯形的面積公式即可得出答案；
（2）先設t=t₀時，根據圖形得出P、E、F的坐標，再根據梯形的面積公式進行計算即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A點的坐標是（20，0），B點的坐標是（0，20），
∴當t=1秒時，P點坐標為（17，0），E（0，1），
由圖形可知點F與點E的縱坐標都為1，把y=1代入y=-x+20中，
解得x=19，
∴F（19，1），
梯形OPFE的面積S=

1

2

（EF+OP）×OE=18，
∴當t=1秒時，梯形面積是18；

（2）設t=t₀時，由圖可知P（20-3t₀，0），E（0，t₀），F（20-t₀，t₀），則：
梯形OPFE的面積S=

1

2

×（EF+OP）×OE=

1

2

×（20-t₀+20-3t₀）×t₀=-2（t₀-5）²+50，
當t₀=5時S有最大值，則最大值為50，
當t=5時，梯形OPFE的面積最大，最大為50．

點評：此題考查了一次函數的綜合，用到的知識點是根據直線求點的坐標，梯形的面積公式，利用二次函數的解析式求最值問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．