Question

如圖．已知二次函數y=-x²+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B．
（1）求此二次函數關系式和點B的坐標；
（2）在x軸的正半軸上是否存在點P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）把點A（4，0）代入二次函數有：
0=-16+4b+3
得：b=

13

4

所以二次函數的關系式為：y=-x²+

13

4

x+3．
當x=0時，y=3
∴點B的坐標為（0，3）．

（2）如圖：
作AB的垂直平分線交x軸于點P，連接BP，
則：BP=AP
設BP=AP=x，則OP=4-x，
在直角△OBP中，BP²=OB²+OP²
即：x²=3²+（4-x）²
解得：x=

25

8

∴OP=4-

25

8

=

7

8

所以點P的坐標為：（

7

8

，0）
綜上可得點P的坐標為（

7

8

，0）．