Question

已知二次函數．

【小題1】當時，函數值隨的增大而減小，求的取值范圍；
【小題2】以拋物線的頂點為一個頂點作該拋物線的內接正（，兩點在拋物線上），請問：△的面積是與無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；
【小題3】若拋物線與軸交點的橫坐標均為整數，求整數的值．

Answer 1

【小題1】因為
所以拋物線的對稱軸為，                            ……………… 1分
因為要使時，函數值y隨x的增大而減小，
所以由圖像可知對稱軸應在直線右側，從而m≥2.
【小題2】（方法一）根據拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設拋物線的對稱軸與交于點，則，設，∴，…………………  4分

又
，…………………  5分
∴，∴，…………………  6分
∴，，                
∴定值；…………………7分
（方法二）由頂點以及對稱性，設， …………………  4分
則M,N的坐標分別為 ，  5分
因為M，N兩點在拋物線上，
所以，             …………………  6分
即，解得，           
所以（與m無關）；
【小題3】令，即時，              
有，            …………………  9分
由題意，為完全平方數，令，    
即， ∵為整數，∴的奇偶性相同，
∴或解得或
綜合得.

解析