Question

如圖所示，一元二次方程x²+2x-3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點C，B的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）
（1）求此拋物線的函數解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC交于點Q，求點P，Q的坐標．
（3）在x軸上是否存在以動點M，使MQ+MA有最小值，若存在求出點M的坐標和最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）解方程x²+2x-3=0，得x₁=-3，x₂=1，
∴交點C（-3，0），B（1，0），
設解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵點A（3，6）在拋物線上，所以解得，
∴；

（2）由，
可知頂點P的坐標（-1，-2），對稱軸為x=-1．
設AC線段的解析式為y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在直線上，
∴，
解得k=1，b=3，
∴y=x+3．
將x=-1代入得y=2，所以Q點的坐標為（-1，2）；

（3）存在．理由如下：
∵點P、Q關于x軸對稱，
∴連接AP，與x軸的交點即為所求點M，連接QM，
∴QM=PM，
∴QM+AM=PM+AM．
設直線AP的解析式為y=ax+k．
同上理可得a=2，k=0，∴y=2x；
令y=0，則x=0，所以點M的坐標為（0，0）．
過點A向PQ做垂線，垂足為H，則AH=4，PH=8，
在RT△AHP中，PA=，

∴MQ+MA=．
分析：（1）求出一元二次方程x²+2x-3=0的兩個根就可以求出拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點C，B的坐標，再有待定系數法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式化為頂點式就可以求出拋物線的頂點坐標和對稱軸，再根據A、C的坐標就可以求出直線的解析式，再將頂點坐標的橫坐標代入解析式就可以求出交點坐標．
（3）根據（2）求得的P、Q的坐標得知P、Q關于x軸對稱，由軸對稱的性質連接AP，與x軸的交點即為所求點M，求出P、Q的解析式就可以求出M的坐標，由勾股定理就可以求出MQ+MA的最小值．
點評：本題考查了待定系數法求拋物線的解析式和直線的解析式，根與系數的關系，二次函數的性質，勾股定理的運用及軸對稱最短路線問題．