Question

從一個等邊三角形（如圖①）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖②）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，形成一個有18個尖角的圖形（如圖③）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形（如圖④）．如此繼續下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數學家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線．

如果設原等邊三角形邊長為a，不妨把每一次的作圖變化過程叫做“生長”，例如，第1次生長后，得圖②，每個小等邊三角形的邊長為

1

3

a，所形成的圖形的周長為4a．
請填寫下表：（用含a的代數式表示）

	第1次 生長后	第2次 生長后	第3次 生長后	…	第n次 生長后
每個小等邊 三角形的邊長	1 3 a			…
所形成的 圖形的周長	4a			…

Answer 1

分析：找到相鄰兩個圖形的周長之間的關系：后一個圖形在前一個的基礎上多了它的

1

3

，以此類推，即可得到第4次變換后得到的圖形的周長．邊長變為原來的

1

3

．

解答：解：仔細觀察規律發現：每生長一次，邊長都變為原來的

1

3

，
即：第一次生長后，邊長變為：

1

3

a；
第二次生長后，邊長變為

1

3

×

1

3

a=

1

9

a；
第三次生長后，邊長變為：

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

a
…
第三次生長后，邊長變為：(

1

3

)na；
解：第一次生長后，周長：3a×

4

3

=4a
第二次生長后，周長：3a×

4

3

×

4

3

，
第三次生長后，周長：3a×

4

3

×

4

3

×

4

3

，
…
第n次生長后，周長：3a（

4

3

）ⁿ．
故答案為：

	第1次 生長后	第2次 生長后	第3次 生長后	…	第n次 生長后
每個小等邊 三角形的邊長	1 3 a	1 9 a	1 27 a	…	( 1 3 )na
所形成的 圖形的周長	4a	3a( 4 3 )2	3a（ 4 3 ）3	…	3a（ 4 3 ）n

點評：本題主要考查了圖形的變化類問題，找到后一個圖形的周長是前一個圖形周長的

4

3

，是解答本題的關鍵．