Question

【題目】如圖(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的關系(位置關系及數量關系)，請直接寫出你得到的結論；

（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一角度α后(0°＜α＜90°)，如圖(2)，通過觀察或測量等方法判斷(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由；

（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉角度α (0°＜α＜360°)過程中，當BG為最小值時，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）相等且垂直；（2）成立，見解析；（3）.

【解析】

（1）首先利用等腰直角三角形的性質和正方形的性質得出DG=DE，AD=BD，進而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延長EA分別交DG、BG于點N、M兩點，首先證明△BDG≌△ADE，進而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大，進而求出即可．

解：（1）如圖（1）

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延長EA到BG于一點M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如圖（2），延長EA分別交DG、BG于點M′、N′兩點，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大；
∵正方形DEFG在繞點D旋轉的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，
∴當正方形DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°）時，BG最大，如圖（3），

若BC=DE=m，則AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=

∴AF=，即在正方形DEFG旋轉過程中，當AE為最大值時，AF=.