Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）若點E在y軸的負半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；
（2）在點F運動過程中，設OE=a，OF=b，試用含a的代數式表示b；
（3）作點F關于點M的對稱點F′，經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，

∵PE⊥PF，

∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，

，

∴△PMF≌△PNE（ASA），

∴PE=PF

（2）證明：解：分兩種情況：

①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，如圖1，

由（1）得△PMF≌△PNE，

∴NE=MF=t，PM=PN=1，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，

∴b=2+a，

②0＜t≤1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，

同理可證△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a．

綜上所述，當t＞1時，b=2+a；當0＜t≤1時，b=2﹣a；

（3）證明：存在；

①如圖3，當0＜t＜1時，

∵F（1+t，0），F和F′關于點M對稱，M的坐標為（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=1﹣t，

當△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，此時無解，

當△OEQ∽△MFP時，

∴ ，

= ，

解得，t=2﹣ 或t=2+ （舍去）；

②如圖4，當1＜t＜2時，

∵F（1+t，0），F和F′關于點M對稱，M的坐標為（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

當△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

解得，t= ，

當△OEQ∽△MFP時，

∴ ，

= ，

解得，t= ，

③如圖5，當t＞2時，

∵F（1+t，0），F和F′關于點M對稱，

∴F′（1﹣t，0）

∵經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ= t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

當△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

無解，

當△OEQ∽△MFP時，

∴ ，

= ，

解得，t=2+ ，t=2﹣ （舍去）

所以當t=2﹣ 或 或 或t=2+ 時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似

【解析】（1）連接PM，PN，運用△PMF≌△PNE證明；（2）分兩種情況：①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上；②當0＜t≤1時，點E在y軸的正半軸或原點上，再根據（1）求解，（3）分兩種情況，當1＜t＜2時，當t＞2時，三角形相似時還各有兩種情況，根據比例式求出時間t．