Question

如圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點B、D的坐標分別為B（1，0），D（3，3）．
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）若反比例函數y=

k

x

的圖象經過直線AC上的點E，且點E的坐標為（2，m），求m的值及反比例函數的解析式；
（3）若（2）中的反比例函數的圖象與CD相交于點F，連接EF，在線段AB上（端點除外）找一點P，使得S_△PEF=S_△CEF，并求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由D的橫坐標為3，得到線段OC=3，即可確定出C的坐標；
（2）由矩形的對邊相等，得到AB=CD，由D的縱坐標確定出CD的長，即為AB的長，再由B的坐標確定出OB的長，再由A為第一象限角，確定出A的坐標，由A與C的坐標確定出直線AC的解析式，將E坐標代入直線AC解析式中，求出m的值，確定出E的坐標，代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（3）過C作CP∥EF，交AB于點P，連接PC，PE，PF，利用平行線間的距離處處相等得到高相等，再利用同底等高得到S_△PEF=S_△CEF，此時直線EF與直線CP的斜率相同，由F的橫坐標與C橫坐標相同求出F的橫坐標，代入反比例解析式中，確定出F坐標，由E與F坐標確定出直線EF斜率，即為直線PC的斜率，再由C坐標，確定出直線PC解析式，由P橫坐標與B橫坐標相同，將B橫坐標代入直線CP解析式中求出y的值，即為P的縱坐標，進而確定出此時P的坐標．

解答：解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C坐標為（3，0）；
（2）∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐標為（1，3），又C（3，0），
∴直線AC解析式為y=

3-0

1-3

（x-3），即y=-

3

2

（x-3），
將E（2，m）代入得：m=-

3

2

（2-3）=

3

2

，即E（2，

3

2

），
將E坐標代入反比例解析式得：

3

2

=

k

2

，解得：k=3，
則反比例解析式為y=

3

x

；
（3）過C作CP∥EF，交AB于點P，連接PC，PE，PF，
此時S_△PEF=S_△CEF，
由F的橫坐標與C橫坐標相同，設F（3，b），
將F坐標代入反比例解析式得：b=1，即F（3，1），
∵直線EF的斜率為

3 2 -1

2-3

=-

1

2

，∴直線CP的斜率為-

1

2

，
∴直線CP解析式為y=-

1

2

（x-3）=-

1

2

x+

3

2

，
又P的橫坐標與B橫坐標相同，都為1，
∴將x=1代入直線CP解析式得：y=-

1

2

+

3

2

=1，
∴此時P的坐標為（1，1）．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，平行線的性質，待定系數法確定函數解析式，直線的斜率，以及一次函數解析式的確定，是一道綜合性較強的試題．