Question

如圖，已知點A（0，0），B(

3

 ， 0)，C（0，1），在△ABC內依次作等邊三角形，使其一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA₁B₁，第2個△B₁A₂B₂，第3個△B₂A₃B₃，…，則第1個等邊三角形的邊長等于

 

，第n（n≥1，且n為整數）個等邊三角形的邊長等于

 

．

Answer 1

分析：根據題目已知條件可推出，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

1

2

×

3

2

=

3

22

，依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于

3

2n

．

解答：解：∵OB=

3

，OC=1，
∴BC=2，
所以第1個等邊三角形的邊長等于AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA₁B₁為等邊三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，則∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
同理得：B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

3

22

，
依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于

3

2n

．
故答案為：

3

2

，

3

2n

．

點評：本題主要考查等邊三角形的性質及解直角三角形，從而歸納出邊長的規律．